Toboggan à billes: la ligne droite est-elle la plus rapide?

I-Présentation

Objectif

Laissons rouler une bille le long d’une courbe en pente comme sur la vidéo : quelle est la forme de courbe qui va permettre d’aller le plus vite ? Le calcul du mouvement d’un point matériel sur des trajectoires de courbures variées, pour savoir quel profil de trajectoire a le temps de parcours le plus court (on parle de brachistochrone) font appel à des méthodes mathématiques relativement difficiles qui relèvent du calcul des variations. Et le résultat est étonnant:il faut laisser la bille tomber assez bas pour qu’elle prenne de la vitesse avant de remonter ensuite :

Développons ici un exemple plus facile à réaliser mécaniquement, compréhensible par un étudiant ou un élève, et à partir duquel on peut montrer qu’il existe au moins une trajectoire sur laquelle la durée du trajet est plus courte que sur la trajectoire rectiligne. On considérera un point matériel glissant sans frottement.

Histoire

La résolution du problème de la courbe brachistochrone passionna les mathématiciens de la fin du xvii^e siècle. Il prend sa source dans une affirmation de Galilée en 1633, qui crut que la solution consistait en un arc de cercle. Cependant, Galilée ne disposait pas des méthodes qui permettaient d’apporter une solution. Jean Bernoulli pose clairement le problème en juin 1696 dans les Acta Eruditorum. Très rapidement, Leibniz propose une solution à Jean Bernoulli, mais sans qu’il reconnaisse la courbe en question. C’est Jean Bernoulli, qui reconnaît un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale. Tous deux décident de différer la publication de leurs solutions pour laisser à d’autres la possibilité d’aborder le problème. Celui-ci fut également résolu par Jacques Bernoulli⁷, frère de Jean, et par Newton.

En complément

• La vidéo Pause ta science
• Courbe brachistochrone
• Brachistochrone et calcul des variations
•  Une autre réalisation très parlante.

II-Construction

Plan de l’objet

Matériaux

•  Colle à bois
• 2 tasseaux 9x9mmx200cm
• 6 planche MDF 30x60cm
• 1 planche en bois 120x30cm
• 4 vis à bois de longueur 40mm
• 3 billes 1,5cm
• Outil: scie à métaux , imprimante laser (on en trouve souvent dans un FabLab)

 Nous avons trouvé tout le matériel dans un de ces magasins de bricolage usuels, sauf les billes que nous avons récupéré dans des jouets d’enfants.

Voici les plans que nous avons utilisés :

Montage

• Couper la planche en bois : 1 morceau de 60cm (A) , 1 morceau de 30cm (B), 1 morceau de 10cm (C)
• Positionner B sur A perpendiculairement et visser avec 2 vis
• Positionner C sur A perpendiculairement et visser avec 2 vis
• Couper les tasseaux : 6 morceaux de 20cm (D) , 3 morceaux de 30cm (E) , 3 morceaux de 56,2cm (F)
• Créer un fichier avec un logiciel vectoriel afin de dessiner les 3 courbes
• Imprimer les 3 courbes en 2 exemplaires sur les planches MDF
• Placer la planche MDF avec la courbe verte à 1 cm du bord de la structure afin de venir coller ( avec la colle à bois ) sur le flan : D en vertical et F en horizontal
• Coller avec la colle à bois E en horizontal et D en vertical sur l’autre flan de la planche MDF avec la courbe verte
• Coller avec la colle à bois la deuxième planche MDF avec la courbe verte sur les tasseaux E et D , précédemment collé
• Placer la planche MDF avec la courbe rouge à 1 cm de l’autre bord de la structure afin de venir coller ( avec la colle à bois ) sur le flan : D en vertical et F en horizontal
• Coller avec la colle à bois E en horizontal et D en vertical sur l’autre flan de la planche MDF avec la courbe rouge
• Coller avec la colle à bois la deuxième planche MDF avec la courbe rouge sur les tasseaux E et D , précédemment collé
• Placer la planche MDF avec la courbe jaune au milieu de la structure afin de venir coller ( avec la colle à bois ) sur le flan D en vertical et F en horizontal
• Coller avec la colle à bois E en horizontal et D en vertical sur l’autre flan de la planche MDF avec la courbe jaune
• Coller avec la colle à bois la deuxième planche MDF avec la courbe jaune sur les tasseaux E et D , précédemment collé

Ces quelques indications ne vous suivent pas ? Aucun souci : contactez-nous ! Nous serons enchanté·e·s de vous aider à réaliser ces objets.

III-Animation

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