Tour de magie : Invariant mathématiques

I-Présentation

Petit modèle recto (4×4) :                                                                  Grand modèle recto (6×6) :

Petit modèle verso (4×4) :                                                                 Grand modèle verso (6×6) :

Objectif 

L’activité est un petit « tour de magie ». Le mathémagicien demande au participant de choisir 4 petits carrés de telle sorte qu’il en prenne exactement un par ligne et par colonne. Le mathémagicien demande alors au candidat de faire la somme des nombres qu’il a choisis. Le mathémagicien fait alors mystérieusement apparaître cette somme au dos des petits carrés sélectionnés.

Pour les « tous petits », cette activité permet d’appréhender des concepts simples de géométrie (carré, ligne, colonne,…) et de faire des additions simples. Elle permet également de les faire réfléchir au « truc »  du tour.

En assistant plusieurs fois au tour, un participant s’aperçoit assez vite que le résultat est toujours le même et peut donc formuler l’hypothèse que c’est toujours le cas.

Cela permet de s’apercevoir que des choses intuitivement imprévisibles comme la somme de quatre nombres peuvent l’être si des contraintes sont ajoutées (ici que les nombres soient dans l’ordre et qu’on en choisisse un par ligne et par colonne).

Ceci introduit à la notion d’invariant en mathématiques.

Pour les plus grands, on peut démontrer que le résultat est toujours le même à l’aide une preuve relativement simple: tout d’abord on choisit un choix de 4 nombres valide (qui respectent les contraintes) de référence et ensuite on montre qu’à partir de n’importe quel choix valide on peut se ramener au choix de référence à l’aide d’échanges élémentaires qui ne modifient pas la somme globale.

Prenons comme choix de référence les carrés de la diagonales, à savoir 1,6,11 et 16. On vérifie que la somme de ces nombres vaut 34. Prenons un autre choix valide de nombres. Il y a un nombre i sur la première ligne et un nombre j sur la première colonne. Si ces 2  nombres sont différents de 1, alors on peut remplacer i par 1 et j par j+i-1 sans modifier la somme.

Le nombre 1 et i sont sur la première ligne et les nombres j et j+i-1 sont sur une même ligne également.

Les nombres 1 et j sont sur la première colonne et les nombres i et j+i-1 sont sur la i-ème colonne  ligne également.

Ainsi le nouveau choix est valide et contient le nombre 1.

En continuant ainsi avec 6, 11, et 16, on se ramène à notre choix de référence.

On peut facilement généraliser ce jeu avec un plus grand nombre de petits carrés (5*5,6*6,…)

II-Construction

Plan de l’objet

Petit modèle recto (4×4) :                                                                  Grand modèle recto (6×6) :

Petit modèle verso (4×4) :                                                                 Grand modèle verso (6×6) :

Matériaux

Petit modèle :

• 1 planche en contreplaqué 30x30cm de 10mm d’épaisseur
• Stickers chiffres de 4 cm d’hauteur : il faut 9 chiffre 1, 2 chiffre 2, 2 chiffre 3, 2 chiffre 4, 2 chiffre 5, 2 chiffre 6, 1 chiffre 7, 1 chiffre 8, 1 chiffre 9.
• Stickers chiffres de 6 cm d’hauteur : il faut 4 chiffre 3, 4 chiffre 4.
• 1 petit pot de peinture marron
• 1 petit pot de vernis à colle
• Outils : 1 pinceau , 1 mètre et 1 scie sauteuse ou 1 imprimante laser pour plus de précision

Voici le fichier à utiliser avec les formes à découper.

Grand modèle :

• 1 planche en contreplaqué 50x30cm de 10mm d’épaisseur
• Stickers chiffres de 4 cm d’hauteur : il faut 9 chiffre 3, 14 chiffre 2, 11 chiffre 3, 4 chiffre 4, 4 chiffre 5, 4 chiffre 6, 3 chiffre 7, 3 chiffre 8, 3 chiffre 9.
• Stickers chiffres de 6 cm d’hauteur : il faut 18 chiffres 1
• 1 petit pot de peinture marron
• 1 petit pot de vernis à colle
• Outils : 1 pinceau , 1 mètre et 1 scie sauteuse ou 1 imprimante laser pour plus de précision

Voici les fichiers à utiliser avec les formes à découper : pour 16 carrés et 36 carrés.

Nous avons trouvé tout le matériel dans un de ces magasins de bricolage usuels.

Montage

Petit modèle :

• Couper 16 carrés 6x6cm.
• Pour couper à l’imprimante laser il faut créer un fichier avec un logiciel vectoriel afin de dessiner les pièces et pouvoir les imprimer.
• Peindre avec deux couches les 16 carrés.
• Coller les stickers de 4 cm d’hauteur de 1 à 16 sur le recto de chaque carré , comme l’image ci dessus.
• Couper les stickers de 6 cm d’hauteur à la moitié de chaque chiffre puis coller les sur le verso de chaque carré , comme l’image ci dessus.
• Vernir chaque carré recto-verso avec 2 couches

Grand modèle :

• Couper 36 carrés 6x6cm.
• Pour couper à l’imprimante laser il faut créer un fichier avec un logiciel vectoriel afin de dessiner les pièces et pouvoir les imprimer.
• Peindre avec deux couches les 36 carrés.
• Coller les stickers de 4 cm d’hauteur de 1 à 36 sur le recto de chaque carré , comme l’image ci dessus.
• Couper les stickers de 6 cm d’hauteur à la moitié de chaque chiffre puis coller les sur le verso de chaque carré , comme l’image ci dessus.
• Vernir chaque carré recto-verso avec 2 couches

Ces quelques indications ne vous suffisent pas ? Aucun souci : contactez-nous ! Nous serons enchanté·e·s de vous aider à réaliser ces objets.

III-Animation

L’animation reste à faire : un·e de nos lecteur·e·s a une idée ?

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